1. 核心定义与根本思维
问题描述：
这类问题通常设定一个受限系统（如数组、矩阵），给定宏观限制（如总和固定）和微观限制（如相邻差值、大小关系）。
目标是判断是否存在满足所有条件的解，或者构造出一组解。
根本思维：
“资源分配与临界状态”。
不要试图直接通过复杂的搜索去凑答案，而是将“是否存在”的问题转化为“满足所有必要条件的检查”。
核心在于“贪心”：假设我们为了满足规则，把每一个变量都压缩到最小合法值（临界状态），系统是否会崩塌？资源是否不够？或者剩余的资源是否因为规则太僵硬而无法塞进去？
2. 通用解法：三层漏斗模型
解决此类问题通常遵循由宏观到微观，再到隐性结构的三个检查步骤：
第一层：总量预算检查
- 问题：如果不考虑细节，手里的总资源是否足以覆盖所有个体的最低需求总和？
- 手段：求和不等式。
- 本质：$\text{总资源} \ge \sum (\text{局部最低需求})$。
- 如果连低保都发不起，直接判负。
第二层：局部极值贪心
这是解题的重心。
* 问题：为了满足局部的苛刻条件（如 $a_i > b_i$ 或 $|a_i - a_{i+1}| \le 1$），在这个位置至少要投入多少资源？
* 手段：计算每个位置的 下界。
* 策略：让每一个元素处于“刚刚好满足条件”的状态。
* 例如：若要求 $a_i > b_i$ 且 $a_i+b_i \ge P$，则 $a_i$ 的极值应为 $\lfloor P/2 \rfloor + 1$。
* 判定：对比给定的资源 $X$ 与计算出的总需求 $\sum req_i$。
第三层：结构性约束
这是最隐蔽的陷阱，通常涉及系统的 自由度 与 僵硬度。
* 问题：即使总资源足够，剩余的 裕度 是否能合法地分配下去？
* 核心逻辑：
* 高自由度：若限制方向不统一（如有的要求 $A>B$，有的要求 $B>A$），多余资源可以通过内部抵消消化，通常不需要此层检查。
* 高僵硬度：若限制方向完全一致（如全要求 $A>B$），系统存在差值死锁。多余的 $B$ 类资源必须伴随更多的 $A$ 类资源才能分配，否则会破坏 $A>B$。
* 判定：检查宏观差值不等式（如 $x \ge y + n$）。
3. 经典考题模型
模型一：对偶数组博弈
- 特征：给定总和 $x, y$，每个位置要求 $a_i+b_i \ge p_i$，且有指定的胜负关系 $s_i$。
- 核心不等式：
- 极值：$x \ge \sum reqA_i, \quad y \ge \sum reqB_i$。
- 死锁：若全为 $A$ 赢，必须 $x \ge y + n$；若全为 $B$ 赢，必须 $y \ge x + n$。
模型二：金字塔/邻项约束
- 特征：限制相邻差值 $|a_i - a_{i+1}| \le 1$，总和 $\le S$，求最大高度。
- 核心不等式：
- 极值：假设最高点为 $H$，则数组呈现 $0, 1, \dots, H, \dots, 1, 0$ 的形状。
- 判定：$\text{MinArea}(H) \le S$（通常配合二分答案）。
模型三：兰道定理/前缀约束
- 特征：判断序列是否为合法的竞赛得分序列（或其他前缀受限序列）。
- 核心不等式：
- 排序：先将序列从小到大排序。
- 子集极值：前 $k$ 小的人，内部对战必然产生 $\binom{k}{2}$ 分。
- 判定：$\forall k, \sum_{i=1}^k s_i \ge \binom{k}{2}$ 且 $\sum_{i=1}^n s_i = \binom{n}{2}$。
模型四：矩阵重构
- 特征：给定行和 $R_i$、列和 $C_j$，元素有上下界。
- 核心不等式：
- 判定：将行和列降序排列，检查前 $k$ 行的总需求是否超过了所有列能提供的最大贡献。
- 公式：$\sum_{i=1}^k R_i \le \sum_{j=1}^m \min(k \cdot \text{MaxVal}, C_j)$。
4. 竞赛实战策略
遇到构造不等式问题，按以下步骤思考：
- 算死线：把所有变量逼到满足条件的最小极限值。
- 查剩余：看给定的总资源减去“死线总和”后，是否非负。
- 看方向：
- 如果限制条件是“杂乱”的（有增有减），通常前两步过了就是 YES。
- 如果限制条件是“整齐划一”的（全增或全减），必须检查剩余资源是否会导致差值失衡（需要推导额外的宏观不等式）。
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